Matematiikan opiskelutyyleista (Oli: Help please! ...)

[Valmari Antti]

Maria Saarinen herätti kiintoisaa keskustelua matematiikan
opiskelusta. Tämän linkin takaa löytyvässä työssä on ajatuksia
herättäviä jaksoja:

http://matwww.ee.tut.fi/hypermedia/julkaisut/di_heli_raassina.pdf

Sellaisia ovat ainakin luvut 6.4 (sivut 71--75), 4.5.1 (51--52),
6.1 (59--61), 6.3.1 taulukko selityksineen (67--68), 6.3.2 (68--71)
ja 6.2 väliotsikosta alkaen (62--65).

--- Antti Valmari ---

[Kai Häkkinen]

Post by Valmari Antti
Maria Saarinen herätti kiintoisaa keskustelua matematiikan
opiskelusta. Tämän linkin takaa löytyvässä työssä on ajatuksia
http://matwww.ee.tut.fi/hypermedia/julkaisut/di_heli_raassina.pdf
Sellaisia ovat ainakin luvut 6.4 (sivut 71--75), 4.5.1 (51--52),
6.1 (59--61), 6.3.1 taulukko selityksineen (67--68), 6.3.2 (68--71)
ja 6.2 väliotsikosta alkaen (62--65).
--- Antti Valmari ---

Erittäin aiheellinen selvitys. Opetan teollisuustaloutta sivutoimisena
opettajana Helsingin amattikorkeakoulu Stadian tekniikka ja liikenteessä
sähköinsinöörioppilaille. Kurssi pidetään ensimmäisenä vuonna, jolloin
mukana on alussa myös ne, jotka tulevat keskeyttämään ensimmäisen vuoden
aikana. Vaikka takana on vähintäänkin lukion lyhyt matikka, ei
peruskoulutason laskuista selvitä kunnialla. Olen 8 vuoden aikana
ehtinyt pohtia aihetta moneen kertaan sekä kolleegoiden kanssa että
yksin. Joka tapauksessa on outoa, että insinöörikoulutukseen hakeutuu
porukkaa, joita matematiikka ei tunnu kiinnostavan ollenkaan.
Miten ihmeessä voisi kuvitella, että selvitään ammattiaineista, joissa
matematiikka on välttämätön työkalu. Puhumattakaan insinöörin ammatista,
jossa pitäisi osata laskea lujuuslaskuja, jne.

Omasta kokemuksesta tiedän, että matematiikkaan pitää olla aitoa
kiinnostusta, muutoin on turha kuvitella oppivansa sitä. Lisäksi
vaikka kiinostusta onkin, matematiikan oppiminen edellyttää kolmea
asiaa: 1) laskuja, 2) laskuja ja 3)laskuja. Eli vain poskettomalla
harjoittelulla voidaan päästä eteenpäin. Näin menettelin itse ja
hallitsen vielä nykyäänkin sen matematiikan, jota n. 30 vuotta sitten
opiskelin (ikää on 52v, tekn.lis.).

Olen päätynyt sellaiseen tulokseen, että nykyinen koulutusjärjestelmä
on pielessä. Insinööri- ja DI-koulutukseen otetaan aivan liian suuri osa
väestöstä. Jos halutaan kouluttaa teknisten asioiden yleisymmärtäjiä
liike-elämän teknisiin ammatteihin, esim. kodinkonekauppaan,
autokauppaan, jne., ei ole järkevää tuhlata
insinöörikoulutuskapasiteettia tähän tarkoitukseen.

Vastaavia selvityksiä eri koulutusalojen oppimisongelmista tehdään
nykyään melkoisia määriä. En usko, että ihminen. jota jokin asia ei
kiinnosta, voitaisiin jollain kummallisella opetusmenetelmällä
saada oppimaan ko. asioita.

Käytännön ongelma on kuitenkin kaadettu opettajien syliin. Virkamiehet
ja muut porukat syyttävät opettajia, jos oppimistuloksissa on ongelmia.
Perusongelman ymmärtäminen tuntuu olevan täysin ylivoimaista
poliitikoille ja virkamiehille. Keksi nyt sitten tähän ratkaisua!!!

Kaitsu

[Sampo Smolander]

Post by Kai Häkkinen
Käytännön ongelma on kuitenkin kaadettu opettajien syliin. Virkamiehet
ja muut porukat syyttävät opettajia, jos oppimistuloksissa on ongelmia.
Perusongelman ymmärtäminen tuntuu olevan täysin ylivoimaista
poliitikoille ja virkamiehille. Keksi nyt sitten tähän ratkaisua!!!

Kaveri (matikanopiskelija) kertoi kerran:

(1) Oli ollut mukana jossain matikanhavainnollistamisohjelmassa.
Ala-asteen 2. luokkalaisille oli opetettu 3-ulotteista koordinaatistoa
rakentamalla liikuntasaliin koordinaatiston kanta, joka koostui kolmesta
eri värisestä metrin mittaisesta nuolesta. Sitten eri kohtiin, eri
korkeuksille salia oli (jotekin) ripustettu palloja, ja kysytty lapsilta
montako nuolen mittaa kunkin väristä nuolta ko. nuolen suuntaan pitä
edetä, että päätyy tietyn pallon luokse. Ja lapset olivat innoissaan
selvitelleen pallojen x,y,z -koordinaatteja. Hienoisella johdattelulla
olivat myös älynneet että negatiiviset koordinaatit meinaavat että nuolta
seurataan väärään suuntaan.

(2) Pian tämän jälkeen kaveri oli ollut matikan sijaisena lukiossa, ja
yrittänyt selittää 3-ulotteista koordinaatistio lukion 1. luokan lyhyen
matikan ryhmälle. Selitystyyli oli tällä kertaa lukiomaisen "kuiva", eli
asiaa vain käytiin läpi taulun avulla, normaaliin oppituntityyliin.

Lopputulos (kuulemma) oli, että nuo 8-vuotiaat suhtautuivat asiaan
innokkaammin ja oppivat asian paremmin kuin nuo 16-vuotiaat.

Ilmeisesti matikanopettajan tärkein taito on jotenkin kieroilemalla,
innostamalla, leikkimällä, tarinoimalla, huijata koululaiset unohtamaan
matikkainhonsa (ja se että on kai ihan yhteiskunnallisesti hyväksyttävää
olla edes yrittämättä oppia matikkaa, verukkeella että on "huono
matikassa"), ja oppimaan asioita asenneongelmista huolimatta.

Eihän ne asiat itsessään niin hankalia ole. Ihmisilla vain on tapana
sulkea korvansa kun joku puhuu matikasta.

[Markku Halmetoja]

Kai Häkkinen <***@saunalaht.fi> wrote:

: Käytännön ongelma on kuitenkin kaadettu opettajien syliin. Virkamiehet
: ja muut porukat syyttävät opettajia, jos oppimistuloksissa on ongelmia.
: Perusongelman ymmärtäminen tuntuu olevan täysin ylivoimaista
: poliitikoille ja virkamiehille. Keksi nyt sitten tähän ratkaisua!!!
:
: Kaitsu


Niin banaalia kuin se onkin, täytyy taas kerran
muistuttaa, että tämä parinkymmenen viime vuoden
aikana tapahtunut osaamisen romahdus on seuraus
yhteiskunnassa tehdyistä poliittisista päätöksistä.
Niistä merkittävin oli tasokurssien poistaminen
yläasteelta sekä hieman myöhemmin matematiikan
neljännen viikkotunnin poistaminen ysiluokalta.
Viimeisin suuri päätös, joka lopullisesti pudottaa
matematiikan oppimisen pohjamutiin, on kuluvana
vuonna käyttöön otettu lukion uusi opetussuunnitelma.
Päätöksistä vastuulliset lienevät jäljitettävissä
erinäisistä asia- ja pöytäkirjoista.

Kerron lyhyesti vain parista mieltäni
rassaavasta yksityiskohdasta.

1) Jo vuosia sitten on polynomien jakolaskussa
rajoituttu käytännössä tapauksiin, jossa jakaja
on 1. asteen polynomi, mutta nyt sekin asia on
siirretty pakollisesta kurssista n:o 2 syventävään
kurssiin n:o 12, jota eivät kaikki edes jaksa valita
ohjelmaansa. Olen opettanut lukiossa pitkää matematiikkaa
neljännenvuosisadan ja muistan hyvin, miten
vielä 80-luvun lopulla lukioon tulevat osasivat
jakaa polynomin 1. asteen tekijällä jakokulmassa,
sillä asiaa oli opeteltu ysiluokalla. Lähes kaikki
laajan tasokurssin oppilaat osasivat jo lukioon
tullessaan tämän asian. Joku voi sanoa, että mitäs
yhdestä pienestä teknisestä laskuoperaatiosta,
senhän voi oppia milloin tahansa. Mutta kyse ei
todellakaan ole "yhdestä teknisestä laskuoperaatiosta"
vaan asiaan liittyy koko jakolaskun syvin olemus,
nimittäin se, että koko jaettava jaetaan ja jakajana
toimii koko jakaja. Jakokulman harjoittelun yhteydessä
tämä viisaus kiteytyy oppilaan päähän ns. hiljaiseksi
tiedoksi, minkä jälkeen ei tule kysymykseen summan
yksittäisten termien supistaminen rationaali-
lausekkeista ym. vastaavat toilailut; ks.

http://www.mantta.fi/~hamlet/math/jakolasku.pdf

Jakokulman kohdalla on kyse peruslaskutoimitusten
syvällisestä ymmärtämisestä. Vaikka symboliseen
laskemiseen kykenevät koneet osaavat tehdä näitä
laskutoimituksia, on niiden sisältö kuitenkin
ymmärrettävä. Miten opettaa derivaatan käsitettä
oppilaalle, joka ei ymmärrrä jakolaskua! Voidaan
viisastella, että symbolisen laskennan ohjelmat
osaavat myös derivoida. Ne eivät kuitenkaan osaa
mallintaa luonnontieteistä ja tekniikasta kumpuavia
ongelmia differentiaaliyhtälöiksi; siihen tarvitaan
derivaatan käsitteen ymmärtämistä ja se puolestaan
edellyttää jakolaskun käsittämistä.

2) Kokonaisuus vektorit/analyyttinen geometria
olisi järkevää opiskella niin, että ensin
opittaisiin vektorilaskennan alkeet, joita sitten
maksimaalisesti sovellettaisiin analyyttisessä
geometriassa. Nyt uusi ops määrittelee tarkasti,
että ensin anal.geom. ilman vektoriopin tarjoamaa
kätevää työkalua, ja sitten vektoriopin kurssi,
joka ei täten "nivelly" kunnolla mihinkään osaan
lukion oppimäärästä. Analyyttisen geometrian osuudessa
joudutaan näinollen antamaan todistuksetta kaavoja,
joilla ratkaistaan suorien kohtisuoruus tai lasketaan
pisteen etäisyys suorasta, tai todistamaan ne keinotekoisen
vaikeasti. Nähdäkseni vektorin käsite on niin tärkeä
matematiikan peruskäsite, että opsin laatijoiden olisi
pitänyt tehdä kaikkensa, että sen opiskelu olisi
tullut mielekkääksi.

Ehkä tämä tyhmistymisen trendi, joka kuuluu olevan
ongelmana kaikissa kehittyneissä länsimaissa, johtuu
jostakin ympäristötekijästä, esimerkiksi autojen
polttoaineisiin lisätystä lyijystä. Lyijyn tyhmistävä
vaikutus on yleisesti tunnettu ja sitä on jo 1920-luvulta
asti tupruteltu ympäristöömme käsittämättömät määrät.
Vasta noin 10 vuotta sitten lyijyn käyttö polttoaineissa
kiellettiin. Ehkä poliitikkojen päätökset matematiikan
opetuksen romuttamiseksi johtuvat lyijyn aiheuttamasta
lasten todellisesta tyhmistymisestä. Jos näin on, niin
nyt lienee kasvamassa lyijytön sukupolvi, ja matematiikan
opseja voitaisiin reivata piankin todellisen oppimisen
suuntaan.

Näissä mietteissä ja eläkeikää odotellessa

\mho

[Vesa Lappalainen]

Post by Markku Halmetoja
nyt lienee kasvamassa lyijytön sukupolvi, ja matematiikan
opseja voitaisiin reivata piankin todellisen oppimisen
suuntaan.
Näissä mietteissä ja eläkeikää odotellessa

Valitettavasti tuo on näkyvissä meilläkin.
Vaikka itse opetankin ohjelmointia, niin matematiikka
on lähellä sydäntäni koska matematiikkaa osaava
on helppo opettaa ohjelmoimaan.

Nytkin yksi iltapäivä katselin kun opiskelijat
olivat saaneet minun tehtäväni valmiiksi ja
käyttivät lopun ajan analyysin kurssin demojen
ratkomiseen. Yksi tehtävä oli selkeästi:

"kerro yksinkertaisin epäjatkuva funktio":

1) lim | f(a+h) - f(a) | = 0
h->0

2) lim | f(a+h) - f(a-h) | = 0
h->0

Ensimmäinen osa tehtävää oli todeta ettei 2) => 1)

Ensin eivät huomanneet että tuossa on kyseessä
jatkuvuuden määritelmä pisteessä a.
No sen verran autoin.

Eivät huomanneet että vastaesimerkiksi riittää
yksinkertaisin epäjatkuva :-( Sitten vihjaisin
että kokeileppa yksikertaisimmalla epäjatkuvalla funktiolla.

No vastaukseksi lähti tulemaan ties mitä sin(1/x):n
kehitelmiä... Eli yliopistossakaan ei enää osata
niitä yksinkertaisia perusasioita, jotka ennen olivat
lukiotavaraa.

Tovottavasti se lyijy häviää nopeasti luonnosta...

Vesa

[Tuomas T Korppi]

Markku Halmetoja <***@mantta.fi> wrote:
: Ehkä tämä tyhmistymisen trendi, joka kuuluu olevan
: ongelmana kaikissa kehittyneissä länsimaissa, johtuu
: jostakin ympäristötekijästä, esimerkiksi autojen
: polttoaineisiin lisätystä lyijystä.

Asiasta voi tietty esittää myös toisenlaisen näkemyksen:

http://solmu.math.helsinki.fi/2005/erik/anttitommi.pdf

[Markku Halmetoja]

Tuomas T Korppi <***@cc.helsinki.fi> wrote:
: Markku Halmetoja <***@mantta.fi> wrote:
: : Ehkä tämä tyhmistymisen trendi, joka kuuluu olevan
: : ongelmana kaikissa kehittyneissä länsimaissa, johtuu
: : jostakin ympäristötekijästä, esimerkiksi autojen
: : polttoaineisiin lisätystä lyijystä.
:
: Asiasta voi tietty esittää myös toisenlaisen näkemyksen:
:
: http://solmu.math.helsinki.fi/2005/erik/anttitommi.pdf
:

En käy tästä kinaamaan. Lyijyhypoteesini oli tarkoitettu
juttuni loppukevennykseksi. Jos keskimääräinen älykkyys
on lisääntynyt niin ok. Se vain ei tahdo näkyä suuren massan
matemaattisissa perustaidoissa tai nykyinen matematiikan kouluopetus
ei anna riittävää älyllistä haastetta näille älyniekoille. Juuri
siksi pitäisikin peruskouluun palauttaa ainakin 2 tasoryhmää
ja laatia laajemalle todella haastava oppimäärä. Pelkkä äly
riittää palikkatesteihin, mutta älykkäänkin olisi matematiikassa
otettava tietyt perusasiat haltuunsa ja se tunnetusti vaatii
tietynlaista työntekoa.

Se, mitä pidetään oleellisena matemaattisena taitona, muuttuu
ajan mukana. Jos tulevaisuudessa peruslaskutoimitusten
hallinta on vähemmän tarpeellinen asia, niin silloin meidän
opsimme ovat kohdallaan ja kaukonäköisesti laadittuja.
Tuloksiakin on saavutettu. Jo nyt voi pitkän matematiikan
yo-kokeesta saada cumun osaamatta (nähty on) laskea mitään.

\mho

[Kai Häkkinen]

Post by Markku Halmetoja
: : Ehkä tämä tyhmistymisen trendi, joka kuuluu olevan
: : ongelmana kaikissa kehittyneissä länsimaissa, johtuu
: : jostakin ympäristötekijästä, esimerkiksi autojen
: : polttoaineisiin lisätystä lyijystä.
: http://solmu.math.helsinki.fi/2005/erik/anttitommi.pdf
En käy tästä kinaamaan. Lyijyhypoteesini oli tarkoitettu
juttuni loppukevennykseksi. Jos keskimääräinen älykkyys
on lisääntynyt niin ok. Se vain ei tahdo näkyä suuren massan
matemaattisissa perustaidoissa tai nykyinen matematiikan kouluopetus
ei anna riittävää älyllistä haastetta näille älyniekoille. Juuri
siksi pitäisikin peruskouluun palauttaa ainakin 2 tasoryhmää
ja laatia laajemalle todella haastava oppimäärä. Pelkkä äly
riittää palikkatesteihin, mutta älykkäänkin olisi matematiikassa
otettava tietyt perusasiat haltuunsa ja se tunnetusti vaatii
tietynlaista työntekoa.
Se, mitä pidetään oleellisena matemaattisena taitona, muuttuu
ajan mukana. Jos tulevaisuudessa peruslaskutoimitusten
hallinta on vähemmän tarpeellinen asia, niin silloin meidän
opsimme ovat kohdallaan ja kaukonäköisesti laadittuja.
Tuloksiakin on saavutettu. Jo nyt voi pitkän matematiikan
yo-kokeesta saada cumun osaamatta (nähty on) laskea mitään.
\mho

Helsingin ammattikorkeakoulu Stadiassa eräs matematiikan opettaja testaa
vuosittain aloittavien oppilaiden matematiikan taitoja, jotta osaisi
kalibroida kurssin oikein. Oppilaat ovat joko ylioppilaita tai
ammattikoulusta tulleita. Tässä ote eräästä hänen tekstistään:

"...On vielä korjattava eräs väärinkäsitys, mikä on liittynyt
tasokurssiajatteluun. Stadian koneosastolle tulevilla ylioppilailla on
(nykynuorison vähäisen konetekniikka-kiinnostuksen vuoksi) erittäin
heikot lähtötiedot: matematiikassa arvosanojen keskiarvo on alle 7;
monella on arvosanana 6, joillakin 5; ylioppilastutkinnon pitkässä
matematiikassa arvosanana on yleisimmin A tai B, vain joillakin C.
Reputtaneita on useita. Siksi Stadiaan tulevien ylioppilaiden osaaminen
on paljon huonompaa kuin lukion opetussuunnitelmien perusteella
odottaisi. Myös alkutesteistä heidän osaamisensa matematiikassa voi olla
yllättävän heikkoa. Tästä jotkut ovat vetäneet sen väärän
johtopäätöksen, että ylioppilailla ja ammattikoululaisilla ei olisi eroa
ja että heidät voitaisiin laittaa samoille kursseille.

Tosiasiassa ero ylioppilaiden ja ammattikouluista valmistuneiden välillä
on erittäin merkittävä. Se paljastuu jo yhdessä tehtävässä, joka
sisältyy laajoihin 102 tehtävän alkutesteihin: on tyypillistä, että
yo-luokilla yhtälöä 2x-3=7-3x vain muutama ei saa ratkaistua oikein, kun
taas aol-luokilla on vain muutama, joka saa sen ratkaistua. Yhdellä
koneosaston aol-luokalla kukaan ei osannut ratkaista A:ta yhtälöstä
s=F/A. Ja mikä tärkeintä: vaikka monet ylioppilaat osaavat huonosti
lukion asioita alkutesteissä, he motivoiduttuaan oppivat nopeasti nämä
asiat, jotka he jo kerran ovat aiemmin kuulleet. Aol-luokilla kaikki
lukion asiat täytyy opettaa ensimmäisen kerran alusta alkaen; kukaan
heistä ole kuullutkaan mitään esimerkiksi derivaatasta tai integraalista..."

Itse törmään joka vuosi teollisuustalouden opetuksessa tähän ongelmaan.
Aloittavien luokkien matematiikan taidot ovat kehnot. Eräs vakio
laskuistani menee näin: Tuotteen nykyinen kateprosentti on 40%. Jos
hintaa alennetaan 10%, niin mikä on uusi kateprosentti?
Oppilaille on tässä vaiheessa pidetty useita tunteja ja katelaskennan
säännöt ovat selvät. Kuitenkin oppilaista alle 10% pystyy laskemaan
tämän tehtävän oikein. Useimmiten vielä lasken koetta edeltävällä
tunnilla presiis saman laskun. Tähän mennessä olen opettanut
n. 1000 oppilasta 8 vuoden aikana.


En tiedä, miten tähän pitäisi suhtautua, mutta insinöörinä olen
tilanteesta erittäin huolestunut. Insinööriammateissa matemaattinen
ajattelu ja sen soveltaminen käytännön ongelmien ratkaisussa on
keskeistä. Muussa tapauksessa mennään politiikan puolelle
ja arkiajattelun alueelle. Silloin ei synny uusia kännyköitä ja
muita uusia tuotteita. Kuitenkin yhteiskunnan kehittämisessä
teknologian rooli on keskeistä.

Kaitsu

[Leo Salo]

Post by Tuomas T Korppi
: Ehkä tämä tyhmistymisen trendi, joka kuuluu olevan
: ongelmana kaikissa kehittyneissä länsimaissa, johtuu
: jostakin ympäristötekijästä, esimerkiksi autojen
: polttoaineisiin lisätystä lyijystä.
http://solmu.math.helsinki.fi/2005/erik/anttitommi.pdf

Solmussa on esitetty tosiaan enemmänkin päinvastaisia näkemyksiä ja
aivan yhtä perustellusti.

Kielellisellä tasolla voidaan puhua esim vastakohtina ongelmanratkaisu
ja mekaaninen laskeminen. Jokainen tietysti tällöin heti kannattaa
ongelmanratkaisua!!!! Vai mitä?

Jos katsotaan vaikka edellisiä, vielä osittain voimassa olevia lukion
opseja. Nehän ainakin lyhyen matematiikan osalta lanseerattiin
ongelmanratakaisupohjaisina, ja sillä tarkoitettiin suppeasti vain
käytännön elämästä otettuja erittäin tylsiä esimerkkejä. Useimmiten
vielä täysin käytännössä hyödyttömiä laskuja joita ei varmasti koskaan
todellisuudessa esiinny. Onneksi pitkässä ei tähän halpaan menty. Käsite
ongelmanratkaisu ei kaikille (varsinkaan suurelle yleisölle) ole siis
ollenkaan selvä.

Ongelmanratkaisu ei tietenkään aina tarvitse olla edes käytännön
esimerkki. Sen sijaan sen tulisi olla älyllisesti haastava ja
mielenkiintoinen. Toisaalta sen tietenkin pitää avata joku näkökulma
kulloinkin opiskeltavaan asiaan.

Tuohon Solmun artikkeliin on hiukan vaikeata ottaa kantaa, kun väitteet
liikkuvat kovin yleisellä tasolla. Ei kai sen yllättävää pitäisi olla,
että monet pelit kehittävät matemaattista ajattelua. Toisaalta ei
väitettä pidä myöskään tulkita siten että mitä enemmän pelaa, sitä
parempi matemaatikko nuoresta tulee. Matematiikka vaatii kuitenkin
monipuolisempia valmiuksia, ja jopa sitä paljon mainostettua
yleissivistystä. Varsinkin mielikuvitus on keskeinen ominaisuus ainakin
luovalle matemaatikolle, niinkuin muillekin luoville ihmisille.

Mitään viisastenkiveä oppimiseen kuitenkaan tuskin löytyy
tietotekniikastakaan. Toki opiskelu on silti järjestettävä nykytekniikan
huomioon ottavaksi, vaikka asiat voitaisiin ainakin periaatteessa (ehkä
ei aina kyllä käytännössä) edelleen opetaa vanhalla tavalla pelkästään
"liitu ja leuka" -menetelmällä.

Ongelmanratkaisukin on todellisuudessa ikiaikainen matematiikan
opetuksen periaate. Nyt se vaan on nimetty erikseen ja hiukan
keinotekoisestikin esitelty yleisölle jonain uutena "mullistavana"
keksintönä.

LS