Nopan heittoa

[DrDot]

Miten lasketaan tämä:

Kuinka monta kertaa keskimäärin täytyy heittää noppaa, niin että
jokainen numero 1-6 esiintyy vähintään kerran?

[Matti Lehtiniemi]

Kuinka monta kertaa keskimäärin täytyy heittää noppaa, niin että jokainen
numero 1-6 esiintyy vähintään kerran?

Kokeillaas lonkalta vastata.
Voithan sä heittää äärettömiin sitä noppa ilman että joku luku tulee.
Parempi kysymys olisi:

" Kuinka monta kertaa keskimäärin täytyy heittää noppaa, niin että
jokainen numero 1-6 esiintyy vähintään kerran 99.9% todennäköisyydellä ? "

Yksi numero ei tule tod. näk. 5/6 osaa.
Eli vastaukseksi saadaan (5/6)^n = 0.001
Lasketaan vastaus logaritmin avulla.

Lasketaan seuraava numero. Koska tällöin jo ensimmäinen numero on listassa
mukana niin tarvitaan n+1 heittoa.
Sama lopuille eli saadaan vastaukseksi n+5.

No ok tuo pelkkä approximaatio(tosin tarkahko sellainen).Jostain
binomi -jakauman (kertymä?) funktiosta saattaisi löytyä parempi ratkaisu.

En viitsi laskea tuota approximaatiota jos joku viitsisi laskea tarkan
analyyttisen ratkaisun.

Matti

[Matti Lehtiniemi]

Post by Matti Lehtiniemi
En viitsi laskea tuota approximaatiota jos joku viitsisi laskea tarkan
analyyttisen ratkaisun.

No lasketaan saman tien tarkka vastaus.
Kun heitetään noppaa n kertaa niin todennäköisyys että se että ei saada tiettyä
numeroa on (5/6)^n
Eli se että saadaan numero on 1 - (5/6)^n

Jotta saadaan kaikki 6 numeroa pitää todennäköisyydet kertoa keskenään. eli
p*p*p*p*p*p = haluttu tod.näk.
Eli tapaus halutaan 99.9% todenäköisyydellä:
p^6 = 0.999
log(p) = log(0.999)/6
log(p) = - 0.0001668
p = 0.9998333

Eli yksi numero vaatii todennäköisyyden 0.9998333
(5/6)^n = 1- 0.9998333 = 0.0001667
n = log(0.0001667) / log(5/6)
n = 47.7

Eli koska noppaa ei voi heittää 47.7 kertaa joudutaan pyöristämään ylöspäin eli
vastaus on 48 kertaa.

Edellisen viestin approximaatio oli muistaakseni 42 eli se meni jonkin verran
väärin.

Matti

[Jussi Piitulainen]

Matti Lehtiniemi writes:

...

Post by Matti Lehtiniemi
Eli koska noppaa ei voi heittää 47.7 kertaa joudutaan pyöristämään
ylöspäin eli vastaus on 48 kertaa.

Päädyn samaan, kun kumuloin todennäköisyyttä sille, että kuudes numero
saadaan heitolla m. Todennäköisyys on noin 0,9986, että m on
korkeintaan 47, ja noin 0,9991, että m on korkeintaan 48.

Pituuden odotusarvo, jota alkuperäinen kysyjä mielestäni haki, näyttää
lähestyvän noin 14,7:ää (kumuloimalla termejä) ja olevan noin 14,7
(simuloimalla miljoona heittosarjaa kunnes saadaan kuudes numero).

Todennäköisin pituus on 11.

[Matti Lehtiniemi]

Post by Jussi Piitulainen
korkeintaan 47, ja noin 0,9991, että m on korkeintaan 48.

Tosiaan sen pitää olla lähellä 48:ia.

Huomasin itse pienen virheen laskuissani.
Jos joku luku on jo sarjassa, pitää odotusarvoa hieman muuttaa.Eli se ei ole
binomijakaumasta suoraan vaan hieman isompi.

Helppo laskea en jaksa tähän vetäistä pikku kaljoissa.
Mutta lähempänä siis 48:sta kuin 47.7 :ää.

Binomijakaumaa voidaan approximoida normaalijakaumalla.

M

[Matti Lehtiniemi]

Post by Jussi Piitulainen
Pituuden odotusarvo, jota alkuperäinen kysyjä mielestäni haki, näyttää
lähestyvän noin 14,7:ää (kumuloimalla termejä) ja olevan noin 14,7
Todennäköisin pituus on 11.

Jaa tosiaan, tuossahan on nuo pari arvoa vielä lisäksi , eli 11 ja 14.7

Tuo 11 on ikään kuin "mediaani" ,todennäköisin pituus. Joka sitten kuitenkin
poikkeaa keskiarvopituudesta.

Vähän kuin mediaanipalkka ihmisillä ja sitten keskimääräinen palkka.

Sain päässäni pyöritettyä tuon kaavan millä molemmat lasketaan mutta en
jaksanut niitä Scilabilla laskea(Matlab klooni).Sinähän jokatapauksessa laskit
nuo arvot ja uskon ne oikeaksi ilman omia laskelmiani.

Matti

[Aki]

Kuinka monta kertaa keskimäärin täytyy heittää noppaa, niin että jokainen
numero 1-6 esiintyy vähintään kerran?

Luultavasti joku tossa jatkossa jo vastasi samoin, mutta siis tapaus että ei
kertaakaan tule, todennäköisyys on kuudessa heiton sekvenssissä (5/6), ja
muut otetataan huomioon?
=>(1- (6/6)*(5/6)*(4/6)*(3/6)*(2/6)*(1/6))^x6 = (5/6)

=> x6 = log(5/6)/log(1-6!/6^6) =
=> x6 = 11,72303981

Eli tuossa sekvenssissä oli kuusi heittoa, lopullinen heittojen määrä x 6
=>70,33823885 kpl

Tätä voi yrittää ratkaista muutenkin...
Tuo alenevan luvun määrä kertoi sen, että ensimmäinen lukeman osumin olla
mikä tahansa on 6/6, seuraavan olla jokin sallittu on 5/6 jne... Sitten
vähennetään ykkösestä, eli että millä todennäköisyydellä EI tullut
yksittäistä heittosarjaa kohden haluttu. Ja se on se 5/6, eli sen
vastatapauksen todennäköisyys on yksittäisessä sarjassa siis 5/6?

Vastaus: 70=>71 kpl
Sain nelosen/viitonen taannoin todarikurssista TTYLLÄ, varsinaisesti tuota
laskua ei ollut, mutta luultavasti se menee jotenkin tohon malliin?