Looginen ongelma

[Hannu S Sinisalo]

Hei!

Olen tekemässä parhaillaan jonkinasteista "toimitustyötä" erääseen
matemaattiseen monografiaan, josta on parhaillaan valmisteilla
englanninkielinen versio (originaali venäjäksi). Törmäsin erääseen
mielenkiintoiseen juttuun työtä tehdessäni, ja haluaisin nyt hieman
lisämielipiteitä asiasta.

Löysin nimittäin kirjasta taulukon, jossa oli loogisten peruskonnektiivien
totuustaulut. Implikaation kohdalla huomasin mielestäni päivänselvän
painovirheen. Taulukon mukaan lauseen A \to B totuusarvo oli epätosi, kun
sekä lause A että lause B olivat epätosia. Yllätyin suuresti, kun menin
asiaa tarkistuttamaan kirjan kirjoittajiin kuuluvan venäläisen professorin
kanssa. Hänen mukaansa kyseessä ei ollut virhe. Hän sanoi, että on kaksi
koulukuntaa, ja hän kuuluu siihen, jonka mukaan epätosista premisseistä
ei voida johtaa totuuksia. Asiaa hämmensi tietenkin lisää vielä se, että
A \to B oli tosi, kun A oli epätosi ja B oli tosi. Minä en ole koskaan
ennen moiseen törmännyt. En ole itse koskaan kuullut muuta kuin, että A
\to B on epätosi vain, jos A on tosi ja B on epätosi.

Samoin tämä professori kieltäytyi myöntämästä virheeksi puhua
disjunktiosta loogisena kertolaskuna ja konjunktiosta loogisena
yhteenlaskuna. Hieman kummalliselta vaikuttaa myös loogisen yhteenlaskun
määritelmä Boolen algebrassa: 0 \vee 0=0+0=0, 0 \vee 1=0+1=1, 1 \vee
0=1+0=1, 1 \vee 1=1+1=0, vaikka disjunktio oli hetkeä aiemmin määritelty
aivan tavanomaisesti.

Asiat eivät ole kirjassa kovinkaan keskeisiä, eikä minulla ole vastuuta
niiden lopullisesta oikeellisuudesta, mutta ihan mielenkiinnosta kyselen,
että onko kukaan törmännyt vastaavaan määrittelyyn ja että miksiköhän
tässä tapauksessa näin on määritelty.

-Hannu Sinisalo
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
§ Hannu Sinisalo § Toisinaanajattelija, LuK §
§ § §
§ ***@uta.fi § "Lapsilla on tärkeä tehtävä §
§ 050-3718979 § yhteiskunnassa. Heistä tulee se." §
§ § -Markus Kajo §
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

[Lauri Alanko]

Post by Hannu S Sinisalo
Löysin nimittäin kirjasta taulukon, jossa oli loogisten peruskonnektiivien
totuustaulut. Implikaation kohdalla huomasin mielestäni päivänselvän
painovirheen. Taulukon mukaan lauseen A \to B totuusarvo oli epätosi, kun
sekä lause A että lause B olivat epätosia.

Eli A->B:n totuusarvo ei riipu ollenkaan A:sta? Oliko tällaiselle
konnektiiville tuossa kirjassa jotain käyttöäkin?


Lauri Alanko
***@iki.fi

[Tommi P Uschanov]

Post by Hannu S Sinisalo
Taulukon mukaan lauseen A \to B totuusarvo oli epätosi, kun
sekä lause A että lause B olivat epätosia. Yllätyin suuresti, kun menin
asiaa tarkistuttamaan kirjan kirjoittajiin kuuluvan venäläisen professorin
kanssa. Hänen mukaansa kyseessä ei ollut virhe. Hän sanoi, että on kaksi
koulukuntaa, ja hän kuuluu siihen, jonka mukaan epätosista premisseistä
ei voida johtaa totuuksia.

Kyllä tämä on täysin kunnianarvoisa kanta. (Itse asiassa kannatan
sitä jossain määrin itsekin.) Mutta yleensä se esitetään muodossa,
jonka mukaan epätosista premisseistä ei voi johtaa yhtään mitään.
Tuntuu oudolta, että joku kannattaisi sitä silloin, kun johtopäätös
on epätosi, muttei silti silloin, kun johtopäätös on tosi.

Implikaation totuustaulukko ei kuitenkaan riipu yksittäisten ihmisten
mielipiteistä, ja mikäli kirjassa olevaa taulukkoa todella nimitetään
implikaation totuustaulukoksi, niin silloin siinä on virhe, vaikka
kirjoittaja olisikin logiikan valtavirran kanssa eri mieltä siitä,
onko taulukon sisällössä tolkkua.

Post by Hannu S Sinisalo
Samoin tämä professori kieltäytyi myöntämästä virheeksi puhua
disjunktiosta loogisena kertolaskuna ja konjunktiosta loogisena
yhteenlaskuna.

Eikös sen pitänyt olla toisin päin: konjunktio kertolaskua ja
disjunktio yhteenlaskua?

Post by Hannu S Sinisalo
ja että miksiköhän tässä tapauksessa näin on määritelty.

Esimerkiksi siksi, että on vahvasti intuitionvastaista esittää,
että kahden proposition välillä on looginen seurausrelaatio, vaikka
niiden välillä ei "oikeasti" ole mitään seurausrelaatiota (*).
Tuntuu yksinkertaisesti liian oudolta ajatella, että A \to B on
tosi, jos esimerkiksi A = "Tampere on Suomen pääkaupunki" ja
B = "Kuu on juustoa". (Minusta tosin tuntuu täsmälleen yhtä
oudolta ajatella, että se on tosi, jos B = "Tampere sijaitsee
Suomessa", mutta professorisi näyttäisi siis totuustaulukostaan
päätellen olevan tästä eri mieltä.)

(*) Tälle ongelmalle on läheistä sukua ns. "implikaation
paradoksi": ( \neg a \wedge ( a \to b ) ) \equiv \neg a

[Tapio]

Post by Tommi P Uschanov

Post by Hannu S Sinisalo
Taulukon mukaan lauseen A \to B totuusarvo oli epätosi, kun
sekä lause A että lause B olivat epätosia. Yllätyin suuresti, kun menin
asiaa tarkistuttamaan kirjan kirjoittajiin kuuluvan venäläisen professorin
kanssa. Hänen mukaansa kyseessä ei ollut virhe. Hän sanoi, että on kaksi
koulukuntaa, ja hän kuuluu siihen, jonka mukaan epätosista premisseistä
ei voida johtaa totuuksia.

Kyllä tämä on täysin kunnianarvoisa kanta. (Itse asiassa kannatan
sitä jossain määrin itsekin.) Mutta yleensä se esitetään muodossa,
jonka mukaan epätosista premisseistä ei voi johtaa yhtään mitään.

Joitain ajatuksia:
Jos epätodet premissit ovat yksittäistapauksia tai yleisemmin OSAjoukko
kaikista tapauksista, siis yleisesti OSAjoukko, niin silloin niistä ei voi
johtaa KOKO totuutta. Epätosista premisseistä voidaan johtaa OSAtotuus, joka
sulkee pois implikaation avulla (tai kautta) EPÄtodet premissit, mutta ei
paljasta KOKO tottuutta, vaan valottaa OSAtotuutta EPÄtosien premissien
kautta tai niiden suhteen.

Jos taas epätodet premissit muodostavat KOKO epätosien premissien joukon
(eli muita vaihtoehtoja eli premissejä ei ole), niin silloin niistä voidaan
implikaatiolla saada joko TOTUUS tai EPÄTOTUUS riippuen käytetystä
implikaatiosta. Implikaatio ei sinänsä todista mitään, koska se on vain
apuväline.
Viittaan tääsä yhteydessä klassiseen implikaatiovirheeseen, jota OSAjoukon
ja KOKOjoukon osalta koskee slogan. "Jos ulkona sataa (TOSI) niin kastun
(TOSI, vain ja ainoastaan vain jos menen ulos). Kastun siis jos menen ulos
(implikaatio), mutta voin kastua sisälläkin (=osa KOKOjoukkoa) jos käyn
suihkussa.(TOSI)"

Jos siis implikaatiota käytetään TOSI/EPÄtosi analyysissä, niin pitää
samalla osoittaa, että muita vaihtoehtoja ei ole olemassa ja implikaatiolla
katetetaan KOKOjoukko eli kaikki mahdolliset ja mahdottomat tapaukset.
Tällöin implikaatio voi osoittaa TOSI tai EPÄTOSI premisseistä joko TOTUUDEN
tai EPÄTOTUUDEN riippuen käytetystä eli soveltuvasta implikaatiosta, jonka
imlikaationkin tulee kattaa KOKO joukko eikä vain OSAjoukkoa.

Tapio

(snip)

[Lauri Alanko]

Post by Tommi P Uschanov

Post by Hannu S Sinisalo
ja että miksiköhän tässä tapauksessa näin on määritelty.

Esimerkiksi siksi, että on vahvasti intuitionvastaista esittää,
että kahden proposition välillä on looginen seurausrelaatio, vaikka
niiden välillä ei "oikeasti" ole mitään seurausrelaatiota (*).

Tämän takia kyseisen relaation nimi onkin nimenomaan "material
implication" eikä esim. "entailment".

Tässä äkkiseltään guuglattu sivu aiheesta:

http://www.earlham.edu/~peters/courses/log/mat-imp.htm


Lauri Alanko
***@iki.fi

[Tommi P Uschanov]

Post by Lauri Alanko

Post by Tommi P Uschanov
Esimerkiksi siksi, että on vahvasti intuitionvastaista esittää,
että kahden proposition välillä on looginen seurausrelaatio, vaikka
niiden välillä ei "oikeasti" ole mitään seurausrelaatiota (*).

Tämän takia kyseisen relaation nimi onkin nimenomaan "material
implication" eikä esim. "entailment".

Kyllä, mutta on silti täysin mahdollista omaksua kanta, jonka
mukaan materiaalisen implikaation käsite tulisi aiheuttamiensa
ongelmien vuoksi hylätä ja siirtyä tutkimaan ainoastaan entailment-
tyyppisiä seurausrelaatioita. (Pois se minusta...)

[Hannu S Sinisalo]

Post by Tommi P Uschanov
Kyllä tämä on täysin kunnianarvoisa kanta. (Itse asiassa kannatan
sitä jossain määrin itsekin.) Mutta yleensä se esitetään muodossa,
jonka mukaan epätosista premisseistä ei voi johtaa yhtään mitään.
Tuntuu oudolta, että joku kannattaisi sitä silloin, kun johtopäätös
on epätosi, muttei silti silloin, kun johtopäätös on tosi.

Tässä muodossa proffakin sen sanoi: epätodesta ei voida johtaa mitään.
Mutta silloin on todellakin hankala puhua implikaatiosta sen tavallisessa
merkityksessä. Kuten sanottua, logiikan osuus kirjassa on hyvin vähäinen,
käytännössä koko luku on ihan turha.

Post by Tommi P Uschanov
Implikaation totuustaulukko ei kuitenkaan riipu yksittäisten ihmisten
mielipiteistä, ja mikäli kirjassa olevaa taulukkoa todella nimitetään
implikaation totuustaulukoksi, niin silloin siinä on virhe, vaikka
kirjoittaja olisikin logiikan valtavirran kanssa eri mieltä siitä,
onko taulukon sisällössä tolkkua.

Näin juuri. Jos se esitetään samassa taulukossa "tavanomaisesti"
määriteltyjen negaation, disjunktion, konjunktion, ekvivalenssin ja
Shefferin viivan kanssa, niin kai se olisi järkevintä silloin tehdä myös
"tavallisella" tavalla, varsinkaan kun kirjan oma näkökulma ei siitä
kärsisi. Joku vastaajista (anteeksi vain, en muista kuka) otti esille,
että proffan määrittelyllä implikaation totuusarvo ei riipu nyt lainkaan
lauseen A totuusarvosta, mikä on kyllä vähintäänkin kummallista.

Post by Tommi P Uschanov
Eikös sen pitänyt olla toisin päin: konjunktio kertolaskua ja
disjunktio yhteenlaskua?

No sitähän minäkin ihmettelin. Hän oli vaan kivenkovaan sitä mieltä, että
disjunktio on \wedge ja konjunktio on \vee. En minä ymmärrä...

Post by Tommi P Uschanov
Esimerkiksi siksi, että on vahvasti intuitionvastaista esittää,
että kahden proposition välillä on looginen seurausrelaatio, vaikka
niiden välillä ei "oikeasti" ole mitään seurausrelaatiota (*).

Ihan totta, mutta logiikka on arkielämää ihmeellisempää :)


-Hannu

[Miikka Lahti]

Post by Tommi P Uschanov

Post by Hannu S Sinisalo
ja että miksiköhän tässä tapauksessa näin on määritelty.

Esimerkiksi siksi, että on vahvasti intuitionvastaista esittää,
että kahden proposition välillä on looginen seurausrelaatio, vaikka
niiden välillä ei "oikeasti" ole mitään seurausrelaatiota (*).
Tuntuu yksinkertaisesti liian oudolta ajatella, että A \to B on
tosi, jos esimerkiksi A = "Tampere on Suomen pääkaupunki" ja
B = "Kuu on juustoa".

Minusta taas päinvastainen olisi jotensakin merkillistä. Esimerkiksi todesta
lauseesta "Suomen pääkaupunki on Suomen suurin kaupunki" voidaan IMO johtaa
lause (kaikille X): "X on Suomen pääkaupunki => X on Suomen suurin
kaupunki". Tämä lause olisikin siten muka epätosi. Kyllä implikaation "A =>
B" pitäisi olla totta aina silloin kun A ja B ovat epätotta.

(Minusta tosin tuntuu täsmälleen yhtä

Post by Tommi P Uschanov
oudolta ajatella, että se on tosi, jos B = "Tampere sijaitsee
Suomessa", mutta professorisi näyttäisi siis totuustaulukostaan

Tässä asia on vielä selvempi: lauseen (A => B) on välttämättä oltava tosi
aina kun A on epätosi, tai ei puhuta enää normaalia intuitiota vastaavasta
implikaatiosta. Sinänsä varmaan epätotta implikaatiolausetta "jos lintu on
korppi, se on musta", ei voi maalaisjärjen mukaan kumota esittämällä sen
paremmin valkoista, mustaa kuin minkään muunkaan väristä kyyhkystä.

[Pekka P. Pirinen]

On Mon, 19 Jul 2004 18:15:24 +0300, "Miikka Lahti"

Post by Miikka Lahti

Post by Tommi P Uschanov
Esimerkiksi siksi, että on vahvasti intuitionvastaista esittää,
että kahden proposition välillä on looginen seurausrelaatio, vaikka
niiden välillä ei "oikeasti" ole mitään seurausrelaatiota (*).
Tuntuu yksinkertaisesti liian oudolta ajatella, että A \to B on
tosi, jos esimerkiksi A = "Tampere on Suomen pääkaupunki" ja
B = "Kuu on juustoa".

Minusta taas päinvastainen olisi jotensakin merkillistä. Esimerkiksi todesta
lauseesta "Suomen pääkaupunki on Suomen suurin kaupunki" voidaan IMO johtaa
lause (kaikille X): "X on Suomen pääkaupunki => X on Suomen suurin
kaupunki". Tämä lause olisikin siten muka epätosi. Kyllä implikaation "A =>
B" pitäisi olla totta aina silloin kun A ja B ovat epätotta.

Esimerkkilause on kyllä selvästi tosi, mutta vaihtoehtoisesti tämän
voi analysoida silläkin tavalla, että se osoittaa, ettei Boolen
tosi/epätosi kalkyyli pysty täydellisesti mallintamaan intuitiivista
käsitystämme seurausrelaatiosta, vaan tarvitaan hienovaraisempi
logiikan järjestelmä. (Ei ehkä kannata kiistellä siitä, mikä on
"oikea" implikaatio, kun Boolen algebrakin on kuitenkin hyvin
hyödyllinen.)

Esim. konstruktiivissa logiikoissa implikaation merkitys on, että
(mielivaltaisesta) A:n todistuksesta voidaan johtaa B:n todistus.
Tämä on helppo nakki tuossa jälkimmäisessä pääkaupunkitapauksessa,
mutta (hypoteettisesta) Tampereen pääkaupungiudesta ei kyllä millään
vääntämällä saa tietoa kuusta (konstruktiivisessa logiikassa
ristiriidasta ei saa ilmaiseksi mitä vaan, niin ettei se onnistu
sillä silmänkääntötempulla), joten ei ole pelkoa, että kukaan tuota
tulee tarjoamaan totena.

[Aatu Koskensilta]

Post by Pekka P. Pirinen
Esim. konstruktiivissa logiikoissa implikaation merkitys on, että
(mielivaltaisesta) A:n todistuksesta voidaan johtaa B:n todistus.
Tämä on helppo nakki tuossa jälkimmäisessä pääkaupunkitapauksessa,
mutta (hypoteettisesta) Tampereen pääkaupungiudesta ei kyllä millään
vääntämällä saa tietoa kuusta (konstruktiivisessa logiikassa
ristiriidasta ei saa ilmaiseksi mitä vaan, niin ettei se onnistu
sillä silmänkääntötempulla), joten ei ole pelkoa, että kukaan tuota
tulee tarjoamaan totena.

Kyllä ~A:sta voi konstruktiivisissakin logiikoissa päätellä A=>B:n. Jos
siis Tampereen ei-pääkaupunkius on konstruktiivisesti todistettu, voi
tästä päätellä, että Tampereen pääkaupunkius implikoi kuun juustouden.
Aksioomaa ~A => (A => B) nimitetään usein kontradiktion laiksi
konstruktiivisista logiikoista puhuttaessa, ja sen on kaksoisnegaation
lain konstruktiivinen "vastine".

Semanttisesti sen oikeutus on yksinkertainen: jos ~A on todistettu
todeksi, ei sillä ole todistusta (koska ~A <=> A => falsum, missä falsum
on jokin todistuvasti epätosi lause, kuten esimerkiksi 0=1 tai
primitiivinen symboli, jolle pätee |- ~falsum, ja jos A:lla olisi
todistus, niin falsumillakin olisi todistus ja konstruktiivinen logiikka
olisi ristiriitainen), joten mille tahansa konstruktiiviselle funktiolle
p pätee: p muuttaa jokaisen A:n todistuksen B:n todistukseksi.

[Aatu Koskensilta]

Post by Aatu Koskensilta
Semanttisesti sen oikeutus on yksinkertainen: jos ~A on todistettu
todeksi, ei sillä ole todistusta

^^^^^ p.o. A:lla, tietenkin.

[Vesa Monisto]

Post by Hannu S Sinisalo
...
Hieman kummalliselta vaikuttaa myös loogisen yhteenlaskun
määritelmä Boolen algebrassa: 0 \vee 0=0+0=0, 0 \vee 1=0+1=1,
1 \vee 0=1+0=1, 1 \vee 1=1+1=0, vaikka disjunktio oli hetkeä aiemmin
määritelty aivan tavanomaisesti.

Boole käytti XOR-funktiota eikä IOR-funktiota.
XOR eli exclusive OR = "joko 1 tai 0 vaan ei molemmat",
IOR eli inclusive OR = "joko 1 tai 0 tai molemmat".

Varmennukseksi lainaus J. Slaterin esipuheesta Boolen läpyskään
"The Mathematical Analysis of Logic" (1847):

"Because he took 'or' in its exclusive sense, that is as meaning
'either x or y but not both x and y', Boole excluded 'x + x = x'
(the union of the class x with itself is itself) from his algebra.
Its introduction into class logic is due to his nineteenth-century
followers, who adopted the inclusive sense of disjunction
- 'either x or y, or both x and y' - as basic." (sivu ix, 1998)

[Boolen tapa on tietysti 'fundamentaalisempi', koska IOR = XOR ja
AND funktioiden yhdelmä/konfuusio. Tietokonelogiikoissa (kovoissa)
IOR on vallitsevampi 'komponenttitaloudellisista' syistä.]

V.M.

[Vesa Monisto]

Tarkennus! (jotta vältettäisi mahdollinen anakronismin harha):
Boole käytti XOR-funktiota eikä IOR-funktiota.
XOR eli exclusive OR = "joko x tai y vaan ei molemmat",
IOR eli inclusive OR = "joko x tai y tai molemmat".

eli *nykyisten* loogisten arvojen/variaattien 1 ja 0 paikalla
tulee, tietty, *nykyisin* käyttää variaabeleita kuten x ja y.

Boole käytti symbolia "1" ilmaisemaan koko keskusteluavaruutta,
jolloin "0" olisi tämän negaatio ('keskusteluavaruuden puute').

Kun merkit 1 ja 0 tulkitaan Boolen tavalla, silloin pätee myös

Post by Vesa Monisto
XOR eli exclusive OR = "joko 1 tai 0 vaan ei molemmat",
IOR eli inclusive OR = "joko 1 tai 0 tai molemmat",

jossa 1 ja 0 eivät ole arvoja/variaatteja vaan variaabeleita eli
'keskusteluavaruuden' ja sen negaation symboleita.
- Keskusteluavaruuden osia Boole merkitsi variaabeleilla x, y, ...

Nykyisin symboleilla 1 ja 0 ilmaistaan loogisia 'totuusarvoja',
jolloin pätee 1 XOR 0 mutta 1 IOR 0 ei ole sallittu, koska
sisältäisi ristiriidan 1 AND 0, jota ei hyväksytä b-logiikassa.

V.M.
("Let us employ the symbol 1, or unity, to represent the Universe,
and ... every conceivable class of objects ..." Boole, sivu 15.)