Lähtö- ja maalijoukko

[Lauri Alanko]

Matemaattinen funktio koostuu lähtöjoukosta, maalijoukosta ja niiden
välisestä relaatiosta, joka täyttää tietyt ehdot. Funktio on siis ikään
kuin "dynaamisesti tyypitetty", ja kuljettaa mukanaan tietoa siitä,
millä alueella se on määritelty.

Tämä tuntuu aika epätavalliselta, sillä yleensähän matemaattiset oliot
ovat ihan vain sellaisinaan. Jos määritellään X:n alijoukko Y, niin Y on
vain joukko, eikä siinä ole mitään lisätietoa "tämä on muuten nyt
tarkoitettu nimenomaan X:n alijoukkona tulkittavaksi". Miksi funktioilla
siis on erityiskohtelu? Tämä tuntuisi paljon yksinkertaisemmalta:

X -> Y = { R | R e P(X×Y) & Ax e X. Ey e Y. Ay' e Y. R(x,y) <=> y = y' }

Nyt jotkin funktion ominaisuudet muuttuvat suhteellisiksi: esim. se,
onko kyseessä osittais- vai kokonaisfunktio, riippuu siitä, mitä
lähtöjoukkoa vasten sitä tutkitaan. Vastaavasti funktion surjektiivisuus
ja injektiivisuus riippuvat annetusta maalijoukosta.

Mutta mitä haittaa tästä olisi? Melkein aina kun funktioita käsitellään,
tiedetään jo muusta kontekstista, mitkä ovat kiinnostavat lähtö- ja
maalijoukot. Ne ovat "staattista tyyppi-informaatiota", niin sanoakseni.

Ja etuna tästä olisi, että ei tarvitsisi tehdä mitään korajoittumia,
maalijoukon pienennyksiä, vain siksi, että saataisiin vaihdettua
funktion "maalijoukkotagi" toiseen. Vaan saadaan ihan suoraan
kovarianssi:

Y \subset Y' => (X -> Y) \subset (X -> Y')

Periaatteessa olisi kiva, jos erityisiä rajoittumiakaan ei tarvitsisi
vaan lähtöjoukolle pätisi kontravarianssi:

X \subset X' => (X' -> Y) \subset (X -> Y)

Tämä tosin taitaa olla aika mahdotonta ainakin tavanomaisin
joukko-opillisin menetelmin (mikä ihme olisi se X P(X×Y):ssä, josta
funktiojoukko komprehensiolla muodostettaisiin?).

Mutta siis. Mikä on ideana näissä funktion mukana kulkevissa joukoissa?


Lauri Alanko
***@iki.fi

[Kari Pasanen]

Itse asiassa olen pitkälle samaa mieltä kanssasi, Lauri, mutta tiedän, että
matemaattisen tradition johdosta ajatuksemme eivät saa paljon kannatusta.

Minä olen kauan aikaa nähnyt, että funktiolle ovat tunnusomaisia vain kaksi
ominaisuutta:

(1) Missä joukossa se on määritelty.

(2) Mitä arvoja se saa määrittelyjoukon alkioilla.

Toisin kuin sinun näkemyksessäsi, minun näkemyksessäni määrittelyjoukko on
funktion ominaisuus ja on mielekästä määritellä funktion rajoittuma
alkuperäisen lähtöjoukon osajoukkoon. Joka tapauksessa, kun funktiota
tarkastellaan oliona sinänsä tietämättä alun perin sen
määrittelyjoukkoakaan tämä voidaan tunnistaa siksi kulloisenkin
mielekkyysperusteella määrittyvän perusjoukon osajoukoksi, jossa funktio on
määritelty.

Tässä mallissa injektiivisyys on funktion ominaisuus, mutta ei
surjektiivisuus eikä bijektiivisyys, koska ne riippuvat siitä
*tulkinnasta*, mikä kulloinkin katsotaan funktion maalijoukoksi. Tutkimalla
vain sitä, missä funktio on määritelty ja mitä arvoja se saa, maalijoukkoa
ei voida tunnistaa. Siksi se on aina nimettävä erikseen, jos asialla on
jotakin merkitystä, ja sitä sillä on vain, kun puhutaan funktion
surjektiivisuudesta tai bijektiivisyydestä. Sanottakoon siis funktion
surjektiivisuus- ja bijektiivisyysväitteen yhteydessä aina, mille joukolle
funktio on surjektio tai bijektio.

Näin siis jokainen funktio on surjektio arvojoukolleen ja jokainen injektio
on bijektio arvojoukolleen. Selvää kuin mikä. Mutta traditio ei ole tässä
puolellani, tiedän sen kyllä.

Tradition puoltajat voisivat latoa järkisyitä nykyiselle viralliselle
näkemykselle funktiosta, joka sisältää myös maalijoukon funktion
ominaisuutena ja *pakottaa* määrittelemään funktiolle myös kuvapuolen
rajoittumia. Jos f(x) = g(x) kaikilla x, joilla sekä f(x) että g(x) on
määritelty, ja jos toinen on määritelty aina kun toinenkin on, eikös
silloin f ja g ole sama funktio?

Kari Pasanen

[Jukka Kohonen]

Post by Kari Pasanen
Minä olen kauan aikaa nähnyt, että funktiolle ovat tunnusomaisia vain kaksi
(1) Missä joukossa se on määritelty.
(2) Mitä arvoja se saa määrittelyjoukon alkioilla.
Toisin kuin sinun näkemyksessäsi, minun näkemyksessäni määrittelyjoukko on
funktion ominaisuus ja on mielekästä määritellä funktion rajoittuma
alkuperäisen lähtöjoukon osajoukkoon.

Tämä minustakin on luontevin ajattelutapa.

Ero Laurin esittämään on siis käytännössä siinä, hyväksytäänkö
osittaisfunktio funktioksi. Minusta ei; funktion käsitteseen kuuluu
olennaisesti se, että se liittää _jokaiseen_ erään joukon alkioon
jotain muuta ("arvon"). Tämäkin voi olla lähinnä tottumuskysymys.

Sen sijaan maalijoukon ja funktion niin kiinteä sitominen toisiinsa ei
jotenkin tunnu mielekkäältä.

[Lauri Alanko]

Post by Jukka Kohonen
Ero Laurin esittämään on siis käytännössä siinä, hyväksytäänkö
osittaisfunktio funktioksi.

Kuinka niin? Minun määritelmäni A->B:lle oli nimenomaan
_kokonais_funktioille. Mutta haluan kyllä, että kokonaisfunktio
hyväksytään laajemman lähtöjoukon osittaisfunktioksi. Tämä tosin taitaa
olla jo nykyäänkin käytäntö. Ainakin PlanetMathin mukaan f on
osittaisfunktio A -` B (käyköön tuo merkinnäksi), jos f on funktio X ->
B jollekin A:n alijoukko X:lle.

Post by Jukka Kohonen
Minusta ei; funktion käsitteseen kuuluu olennaisesti se, että se
liittää _jokaiseen_ erään joukon alkioon jotain muuta ("arvon").

Osittaisfunktiokin liittää jokaiseen _erään_ joukon alkioon arvon.

Mutta unohdetaan osittaisfunktiot. Pointtini on, että lähtöjoukko on
funktion ominaisuus vaikka sitä ei erikseen kannettaisi mukanakaan.
Sehän on suoraan relaation projektio:

dom(f) = { x | (x,y) \in f }

Haluaisin myös, että tämä joukko voisi olla _suurempi_ kuin mihin
kulloinkin on tarvetta, mutta käsittääkseni tällöin funktiokokoelmista
tulisi aitoja luokkia, mikä olisi melkoisen epätoivottavaa...


Lauri

[Jukka Kohonen]

Post by Lauri Alanko

Post by Jukka Kohonen
Ero Laurin esittämään on siis käytännössä siinä, hyväksytäänkö
osittaisfunktio funktioksi.

Kuinka niin? Minun määritelmäni A->B:lle oli nimenomaan
_kokonais_funktioille.

No niinpä olikin, sekoilin kvanttorihässäkän dekoodaamisessa.
Tosin ei se määritelmä ihan oikein ollutkaan.

Määritelmähän oli

X -> Y = { R | R e P(X×Y) & Ax e X. Ey e Y. Ay' e Y. R(x,y) <=> y = y' }

Jos X:ssä on ainakin yksi alkio ja Y:ssä ainakin kaksi eri alkiota
y!=y', niin tämän ehdon täyttäviä relaatioita R ei lainkaan löydy.
Korjataan tuo R(x,y) muotoon R(x,y').

[Lauri Alanko]

Post by Jukka Kohonen
Korjataan tuo R(x,y) muotoon R(x,y').

Juuh. Huomasin itsekin vasta.


Lauri

[Jukka Kohonen]

Post by Lauri Alanko

Post by Jukka Kohonen
Korjataan tuo R(x,y) muotoon R(x,y').

Juuh. Huomasin itsekin vasta.

Sinänsä kätevä demonstraatio raakojen kvanttorihässäköiden
haitoista: kirjoittaja tekee yhden virheen, jota lukija ei huomaa,
mutta tekee lukiessaan toisen virheen.

Monimutkaisemmat kaavat suoraan E- ja A-kvanttoreilla ovat vähän kuin
konekielellä koodaisi, alhainen abstraktiotaso haittaa ymmärrystä.
Abstraktiotason nosto ei toki edellytä formalismista luopumista,
voisimmehan ottaa käyttöön lyhennysmerkintänä vaikka uuden kvanttorin
"E1" merkitykseltään "on tasan yksi sellainen, että",

(E1 x \in X: P(x)) <=> (E x \in X: A x' \in X: x=x' <=> P(x'))

niin funktion määritelmäsi lyhenisi kummasti.

[Antti-Juhani Kaijanaho]

Post by Lauri Alanko
X -> Y = { R | R e P(X×Y) & Ax e X. Ey e Y. Ay' e Y. R(x,y) <=> y = y' }

Minulle tämä sinun postauksesi tuntuu aika oudolta. Minun matemaattinen
koulutukseni on koko ajan lähtenyt ajatuksesta, jonka ilmaiset
tuossa kaavassasi. Monilla kursseilla sanotaan eksplisiittisesti, että
funktiota pidetään relaation erikoistapauksena ja relaatiota puolestaan
tulojoukon osajoukkona. Missä näin ei ajatella?

[Ville Hakulinen]

Post by Antti-Juhani Kaijanaho
tuossa kaavassasi. Monilla kursseilla sanotaan eksplisiittisesti, että
funktiota pidetään relaation erikoistapauksena ja relaatiota puolestaan
tulojoukon osajoukkona. Missä näin ei ajatella?

Kategoriateoreetikot haluavat lisäksi sisällyttää maalijoukon funktion
määritelmään. Lähtöjoukkoa ei tarvitse erikseen mainita, koska se voidaan
rekonstruoida tuosta tulojoukon osajoukosta, jota usein myös funktion
graafiksi kutsutaan.

[Antti-Juhani Kaijanaho]

Post by Ville Hakulinen
Kategoriateoreetikot haluavat lisäksi sisällyttää maalijoukon funktion
määritelmään.

Kategoriateorian tapauksessa se on ihan ymmärrettävää; se vähä, mitä
siitä ymmärrän, sisältää muistikuvan, että kategoriateorian yksi
peruskäsitteistä on nuoli A -> B, josta funktiokäsite voidaan nähdä
eräänä sovelluksena. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, etteikö "tavallista"
matematiikkaa tehtäessä kannattaisi samastaa funktiota graafiinsa.

Post by Ville Hakulinen
Lähtöjoukkoa ei tarvitse erikseen mainita, koska se voidaan
rekonstruoida tuosta tulojoukon osajoukosta, jota usein myös funktion
graafiksi kutsutaan.

... paitsi, jos sallitaan osittaisfunktiot (ei sitä analyysissä tarvita
juurikaan, mutta monissa tietojenkäsittelyteorian ja sitä vastaavan
matematiikan jutuissa kylläkin).

[Lauri Alanko]

Post by Antti-Juhani Kaijanaho
Minulle tämä sinun postauksesi tuntuu aika oudolta. Minun matemaattinen
koulutukseni on koko ajan lähtenyt ajatuksesta, jonka ilmaiset
tuossa kaavassasi. Monilla kursseilla sanotaan eksplisiittisesti, että
funktiota pidetään relaation erikoistapauksena ja relaatiota puolestaan
tulojoukon osajoukkona. Missä näin ei ajatella?

Minun kokemukseni mukaan matematiikassa yleensä ajatellaan, että
lähtö- ja maalijoukko ovat erillisiä komponentteja funktioissa sen
itse relaation lisäksi. Joten relaatio voi pysyä samanakin, mutta jos
nimellistä maalijoukkoa vaihdetaan, kyseessä onkin "eri" funktio.

PlanetMathin artikkeli sanoo tämän aika selkeästi:

http://planetmath.org/encyclopedia/Function.html


Lauri

[Tuomas T Korppi]

Antti-Juhani Kaijanaho <antti-***@kaijanaho.info> wrote:

: tuossa kaavassasi. Monilla kursseilla sanotaan eksplisiittisesti, että
: funktiota pidetään relaation erikoistapauksena ja relaatiota puolestaan
: tulojoukon osajoukkona. Missä näin ei ajatella?

Minä ainakin haluan, että surjektiivisuus/ ei-surjektiivisuus on
kuvauksen ominaisuus, ja tämän takia haluan sisällyttää maalijoukon
kuvauksen määritelmään. Haluan myös, että jatkuvuus/ differentioituvuus/
homomorfisuus jne. ovat kuvauksen ominaisuuksia. Tämän takia joudun
sisällyttämään kuvaukseen f : A -> B, paitsi A:n ja B:n joukkoina, myös
niille oletetun algebrallisen/ topologisen/ differentioituvan jne...
struktuurin, eli A:n ja B:n avaruuksina.

[Tommi P Sottinen]

Post by Tuomas T Korppi
: tuossa kaavassasi. Monilla kursseilla sanotaan eksplisiittisesti, että
: funktiota pidetään relaation erikoistapauksena ja relaatiota puolestaan
: tulojoukon osajoukkona. Missä näin ei ajatella?
Minä ainakin haluan, että surjektiivisuus/ ei-surjektiivisuus on
kuvauksen ominaisuus, ja tämän takia haluan sisällyttää maalijoukon
kuvauksen määritelmään. Haluan myös, että jatkuvuus/ differentioituvuus/
homomorfisuus jne. ovat kuvauksen ominaisuuksia. Tämän takia joudun
sisällyttämään kuvaukseen f : A -> B, paitsi A:n ja B:n joukkoina, myös
niille oletetun algebrallisen/ topologisen/ differentioituvan jne...
struktuurin, eli A:n ja B:n avaruuksina.

Olen Korpin linjoilla. Funktion ajatteleminen tiettynä relaationa
voi olla jollain matematiikan osa-alueella näppärää ja jonkun mielestä
jopa "kaunista", mutta analyysissä se on mielestäni onneton ajattelumalli.

Ajatellaan esimerkiksi funktiota nimeltä "integraali". Meillä
on jonkin näköinen idea siitä summana

(1) I(f) = f_1*Delta_1 + ... + f_n*Delta_n,

kun f on "yksinkertainen" ja reaaliarvoinen, siis f e E.

Nyt meillä on siis "sääntö" (1), lähtöjoukko E (2), ja maalijoukko
R (3). Tämän jälkeen tyypillisesti katsomme voimmeko laajentaa säännön
(1) jollain mielekkäällä tavalla isommalle lähtö- tai maaliavaruudelle

Funktion "kolmiosainen" määrittely f:X->Y, missä X ja Y ovat _avaruuksia_ ja
sääntö f(x) = "jotakin, joka jossain tapauksissa osataan jopa
kirjoittaa eksplisiittisesti" on siis analyysin kannalta varsin
kätevää.

tommi

[Lauri Alanko]

Post by Tuomas T Korppi
Minä ainakin haluan, että surjektiivisuus/ ei-surjektiivisuus on
kuvauksen ominaisuus, ja tämän takia haluan sisällyttää maalijoukon
kuvauksen määritelmään.

Millaisessa tapauksessa halutaan tietää, onko funktio surjektiivinen
ilman, että tiedettäisiin jo muutenkin, mihin maalijoukkoon sen halutaan
olevan surjektio?

Post by Tuomas T Korppi
Haluan myös, että jatkuvuus/ differentioituvuus/ homomorfisuus jne.
ovat kuvauksen ominaisuuksia. Tämän takia joudun sisällyttämään
kuvaukseen f : A -> B, paitsi A:n ja B:n joukkoina, myös niille
oletetun algebrallisen/ topologisen/ differentioituvan jne...
struktuurin, eli A:n ja B:n avaruuksina.

Miksi joutuisit? Joudut vaatimaan, että f:llä on tiettyjä
lisäominaisuuksia, ja konstruktiivisesti ajatellen joudut
"sisällyttämään" f:ään todistuksen siitä, että sillä nämä ominaisuudet
myös on. Mutta miksi joutuisit ne itse avaruudet sinne funktioon
länttäämään, etkö melkein aina tiedä kiinnostavan avaruuden jo
muutenkin? Ja se relaatio joko täyttää tai ei täytä ehtoa "relaatio f on
jatkuva funktio joukosta X topologialla T joukkoon Y topologialla T'"
ihan riippumatta siitä, kanniskellaanko sen mukana avaruuksia vai ei.

Ajatellaanpa vertailun vuoksi vaikka ekvivalenssirelaatiota. Relaatio R
on ekvivalenssi aina suhteessa johonkin joukkoon S, ja sen täytyy
täyttää ne kolme lisäehtoa. Siitä huolimatta en ole koskaan nähnyt
määritelmää, jonka mukaan relaatio _kuljettaisi mukanaan_
määrittelyjoukkoaan: R = <S,R'> missä R' \in P(S×S). Ei, relaatio on
yksinkertaisesti joukko pareja, ja se, että se sattuu olemaan
ekvivalenssirelaatio S:ssä on vain sen ominaisuus joka johtuu siitä,
mitä pareja siinä on. R on samalla myös osittaisekvivalenssi kaikissa
S:n laajennuksissa, eikä sitä tarvitse erikseen tehdä sellaiseksi
vaihtamalla "tägi" toiseksi.

Joten miksei funktioille päde ihan sama?


Lauri

(Periaatteessa olisi kiva, jos R olisi myös relaatio S:n alijoukoissa,
mutta joukko-opilliset syyt pakottavat taas tekemään eksplisiittisiä
rajoituksia...)

[Sampo Smolander]

Post by Lauri Alanko
Mutta miksi joutuisit ne itse avaruudet sinne funktioon
länttäämään, etkö melkein aina tiedä kiinnostavan avaruuden jo
muutenkin?

Kävisikö esimerkiksi Fourier-muunnos?

Jos lähtöavaruutena on L^1, voidaan Fourier-muunnos määritellä
sillä tutulla integraalikaavalla. Jos lähtöavaruutena on L^2,
Fourier-muunnoksen määrittelyä tahkotaan reaalianalyysin kurssilla
varmaan vähintään yksi luento.