(Seuraavassa GCH = yleistetty kontinuumihypoteesi = jokaisella kappa,
2^kappa = kappa^+)
Post by Risto PaasivirtaMulle kyllä riittäisi tältä alalta alkuun, että edes reaalilukujen
kardinaliteetti vastaisi jotain järkevää kardinaalilukua.
En tiedä järkevyydestä, mutta kyllä se valinta-aksiooman pätiessä vastaa
jotain alefia (tietyin rajoituksin koskien kofinaliteettia)
Post by Risto PaasivirtaYmmärtääkseni joukkoteoreetikot nykyään on sitä mieltä, että ei
passaa vaan sopia että aleph_1 == c ja 2^aleph_n == aleph_n+1?
No, ei kenenkään mielestä varmasti ole mitenkään järkevää vain olettaa
GCH:ta ilman mitään perusteluja, joten siinä mielessä olet oikeassa.
Samoin ~GCH:n olettaminen perusteitta tuntuisi aika mielivaltaiselta.
Erityisesti 60-luvun ja pakottamisen keksimisen jälkeen oli jonkin aikaa
vallalla voimakkaan formalistinen näkemys. Esimerkiksi pakottamisen
keksinyt Paul Cohen itse katsoi sen osoittaman (standardien) mallien
moninaisuuden tukevan sellaista näkemystä, että GCH:lla ei varsinaisesti
ole mitään totuusarvoa.
Tällaisen näkemyksen ongelmana on se, että se olettaa ZFC:n aksioomat
annetuiksi ja kiveen hakatuiksi: ZFC määrittelee täsmälleen sen, mitä
voimme joukoista sanoa (tietää) ja piste. Mutta esimerkiksi Zermelon
alkuperäinen joukko-opin aksiomatisointi havaittiin puutteelliseksi:
eräiden joukkojen, kuten {w,P(w),P(P(w)),P(P(P(w))),...}, olemassaoloa
ei siinä voitu todistaa. Sen sijaan, että olisi nostettu kädet pystyyn,
aksiomatisointiin lisättiin korvausaksiooma, joka riittää joukon
olemassaolon todistamiseen. Samoin voidaan ajatella, että epämuodollista
kumulatiivisen hierarkian käsitettä tarkoin reflektoimalla ja pohtimalla
voidaan löytää vakuuttavia periaatteita, jotka eivät ole todistuvia
ZFC:ssä, mutta jotka selvästi ovat tosia.
Suurten kardinaalien kohdalla tätä voisi havainnollistaa esimerkiksi ns.
reflektioperiaatteilla. ZFC todistaa jokaiselle kaavalla phi, että on
olemassa ordinaali alpha siten, että L_alpha |= phi <=> phi, t.s.
kumulatiivisen hierarkian alpha:s taso "reflektoi" koko joukko-opillusta
universumia kaavan phi suhteen. Jos voisimme ilmaista korvausskeeman
yhtenä kaavana phi, todistaisi ZFC sellaisen alpha:n olemassaolon, että
L_alpha |- phi. Mutta tällaisen alpha:n pitäisi olla voimakkaasti
saavuttamaton, joten ZFC todistaisi voimakkaasti saavuttamattoman
kardinaalin olemassaolon. Korvausskeemaa ei tietystikään voi esittää
yhtenä kaavana, eikä ZFC todista saavuttamattoman kardinaalin
olemassaoloa. Reflektioperiaatteen intuitiivisen version mukaan on
kuitenkin "selvää", että saavuttamaton kardinaali on olemassa. Yleisesti
voidaan ajatella, että joukko-opillisen universumin pitäisi olla
rakenteeltaan niin rikas, että mikä tahansa "rakenteellinen" ominaisuus,
joka universumilla on, on jo jollakin kumulatiivisen hierarkian tasolla
L_alpha. Tällä tavalla voi oikeuttaa "pienien" suurten kardinaalien
olemassaolon. Mitalliset kardinaalit ja muut vastaavat vaativat jo
monimutkaisempaa masinointia.
Samoin jonkinlaisen selkäen rakenteen puolesta puhuu seuraava
kummallinen seikka: kaikki periaatteet (joita ei ole keinotekoisesti
tuotettu vain tämän seikan kumoamiseksi), jotka on löydetty eri
vahvuisten oletusten tutkimuksessa, ovat vertailtavissa. Tämä tarkoittaa
sitä, että erilaiset suurten kardinaalien oletukset asettuvat
*lineaariseen* järjestykseen. Ei ole mitään a priori syytä olettaa, että
näin kävisi. Itse asiassa jos lisäilemme vain satunnaisesti valittuja
joukko-opin kaavoja ZFC:n (tai heikompiin teorioihin), erittäin
todennäköisesti saamme voimakkuudeltaan* vertailemattomia teorioita. Jos
taustalla ei ole mitään selkeää rakennetta - esimerkiksi jos hyväksymme
formalismin -, vaikuttaa suurten kardinaalien lineaarinen järjestys
kummalliselta yhteensattumalta.
Eräs toinen kiintoisa perusta uskoa suurten kardinaalien oletusten
olevan perusteltavissa tai hylättävissä selkeillä matemaattisilla syillä
on joihinkin niihin liittyvien käsitteiden hämmästyttävä stabiilius.
Esimerkiksi reaaliluku 0^#, jonka olemassaolo ei itsessään ole suuren
kardinaalin oletus, mutta jonka olemassaolon sellainen implikoi ja jonka
olemassaolo implikoi k.o. suuren kardinaalin oletuksen konsistenttiuden,
on siitä kummallinen, että jos jokin (kaikki numeroituvat ordinaalit
sisältävä) malli kuvittelee jonkin alkion a olevan 0^#, se todellakin
*on* 0^#.
Suuret kardinaalit sinänsä poikkeavat GCH:sta paljonkin: GCH esimerkiksi
on konservatiivinen ZFC:n suhteen aritmeettisten lauseiden luokassa,
t.s. jos voimme todistaa jonkin luonnollisia lukuja koskevan väitteen
olettamalla GCH:n (tai valinta-aksiooman), voimme todistaa sen myös
ilman tätä oletusta. Suuret kardinaalit taas implikoivat uusia
lukuteoreettisia totuuksia. Nähtävästi suurten kardinaalien olettaminen
ei anna mitään uutta tietoa kontinuumin mahtavuudesta, ei ainakaan niin,
että se riittäisi ratkaisemaan GCH:n. Intuitiivisesti voi ajatella, että
suurten kardinaalien oletukset koskettelevat kumulatiivisen hierarkian
korkeutta, mutta GCH käsittelee sen leveyttä. Nyttemmin Hugh Woodin
esittänyt suhteellisen rankkoja ja vakuuttavia perusteita sille, että
GCH olisi epätotta.
Suurista kardinaaleista, yleistetystä kontinuumihypoteesista ja niiden
filosofisista ongelmista kiinnostuneiden kannattaa lukea Penelope Maddyn
artikkelit Believing the Axioms I & II (Journal of Symbolic Logic 53, 1
& 2, muistaakseni). Woodinin työstä GCH:n parissa löytyy esityksiä
herran kotisivuilta.
* Tässä puhumme ns. konsistenssivoimasta, t.s. T_1 < T_2 jos T_2 |-
Cons(T_1) ja T_1 = T_2 jos T_1, T_2 |- Cons(T_1) <-> Cons(T_2).
--
Aatu Koskensilta (***@xortec.fi)
"Wovon man nicht sprechen kann, daruber muss man schweigen"
- Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus